Year 2017

• On the derivatives $\partial^{2}P_{\nu}(z)/\partial\nu^{2}$ and $\partial Q_{\nu}(z)/\partial\nu$ of the Legendre functions with respect to their degrees

  Publication

  • R. Szmytkowski

  - INTEGRAL TRANSFORMS AND SPECIAL FUNCTIONS - Year 2017

  We provide closed-form expressions for the degree-derivatives $[\partial^{2}P_{\nu}(z)/\partial\nu^{2}]_{\nu=n}$ and $[\partial Q_{\nu}(z)/\partial\nu]_{\nu=n}$, with $z\in\mathbb{C}$ and $n\in\mathbb{N}_{0}$, where $P_{\nu}(z)$ and $Q_{\nu}(z)$ are the Legendre functions of the first and the second kind, respectively. For $[\partial^{2}P_{\nu}(z)/\partial\nu^{2}]_{\nu=n}$, we find that % \begin{displaymath} \frac{\partial^{2}P_{\nu}(z)}{\partial\nu^{2}}\bigg|_{\nu=n} =-2P_{n}(z)\Li_{2}\frac{1-z}{2}+B_{n}(z)\ln\frac{z+1}{2}+C_{n}(z), \end{displaymath} % where...

  Full text to download in external service

Year 2014

• A Dirac delta-type orthogonality relation for the on-the-cut generalized associated Legendre functions of the first kind with imaginary second upper indices

  Publication

  • R. Szmytkowski
  • S. Bielski

  - INTEGRAL TRANSFORMS AND SPECIAL FUNCTIONS - Year 2014

  The orthogonality relation for the on-the-cut generalized associated Legendre functions of the first kind with imaginary second upper indices is evaluated in a closed form. It is found to be proportional to a sum of two terms, both depending on the second upper indices and containing the Dirac delta distribution.

  Full text to download in external service

Year 2013

• Orthogonality relations for the associated Legendre functions of imaginary order

  Publication

  • S. Bielski

  - INTEGRAL TRANSFORMS AND SPECIAL FUNCTIONS - Year 2013

  Orthogonality relations for the associated Legendre functions of imaginary order are derived. They are expressed in terms of the Dirac delta function. The method is based on some known properties of the associated Legendre functions and the Dirac delta distribution. A special case of one of the relations has appeared in some recent applications.

  Full text to download in external service

Year 2012

• Some integrals and series involving the Gegenbauer polynomials and the Legendre functions on the cut (-1,1)

  Publication

  • R. Szmytkowski

  - INTEGRAL TRANSFORMS AND SPECIAL FUNCTIONS - Year 2012

  Zaprezentowano metode obliczenia dwóch całek oznaczonych zawierających wielomiany Gegenbauera. Wynik wykorzystano do znalezienia sum czterech szeregów o wyrazach zawierających wielomiany Gegenbauera oraz funkcje Legendre'a (pierwszego lub drugiego rodzaju) na odcinku (-1,1).

  Full text to download in external service

Year 2010

• An orthogonality relation for the Whittaker functions of the second kind of imaginary order

  Publication

  • R. Szmytkowski
  • S. Bielski

  - INTEGRAL TRANSFORMS AND SPECIAL FUNCTIONS - Year 2010

  Przeprowadzono dowód ortogonalności funkcji Whittakera drugiego rodzaju rzędu urojonego. Użyto metody analogicznej do tej, którą zaprezentowano we wcześniejszej pracy tych samych autorów [J. Math. Anal. Appl. 365 (2010) 195-197], poświęconej funkcjom Macdonalda rzędu urojonego.

  Full text to download in external service

Year 2008

• Monotone method to Volterra and Fredholm integral equations with deviating arguments

  Publication

  • T. Jankowski

  - INTEGRAL TRANSFORMS AND SPECIAL FUNCTIONS - Year 2008

  Praca dotyczy problemów istnienia rozwiązań równań całkowych typu Volterry i Fredholma z odchylonymi argumentami. Podano warunki dostateczne na istnienie rozwiązań w odpowiedniej klasie. Pewne nierówności całkowe typu opóźnionego są również przedmiotem badań.

Year 2003

• Existence and approximate solutions of Neumann problems

  Publication

  • T. Jankowski

  - INTEGRAL TRANSFORMS AND SPECIAL FUNCTIONS - Year 2003

  Dyskutowany jest problem Neumanna dla równań różniczkowych drugiego rzędu.Praca dotyczy istnienia rozwiązań i zbieżnosci iteracji monotonicznych któresą przybliżonymi rozwiązaniami omawianych zagadnień. Określone zostały wa-runki zbieżności takich ciągów oraz określono rodzaj tej zbieżnosci.