Abstrakt

W pracy doktorskiej badane są matematyczne własności obiektu o elastycznym, wolnym brzegu, który został nazwany biologicznym klastrem. Brzeg klastra umocniony jest przy pomocy elastycznych połączeń z jądrem i jest wypełniony sprężonym gazem. Praca składa się z trzech rozdziałów. Pierwszy z nich ma charakter wprowadzający. Przypomniane są w nim pojęcia i fakty z zakresu analizy funkcjonalnej. Wprowadzone są definicje, twierdzenia i przykłady, z których korzystamy w kolejnych rozdziałach. W rozdziale drugim opisaliśmy klasyczne zagadnienie bifurkacji w równaniach nieliniowych z parametrem oraz przedstawiliśmy podstawowe narzędzie, z którego korzystamy, t.j. twierdzenie Crandalla - Rabinowitza. W dalszej części rozdziału omówione zostały redukcja Lyapunova – Schmidta oraz metoda funkcji kluczowej Sapronova, które stosujemy do określenia typu bifurkacji. Rozdział trzeci, który powstał w oparciu o literaturę, stanowi zasadniczą część pracy doktorskiej i składa się z czterech podrozdziałów. W Podrozdziale 3.1 przedstawiamy matematyczny model biologicznego klastra, formułujemy problem bifurkacji z łamaniem symetrii oraz główne twierdzenie pracy (Twierdzenie 3.2). W Podrozdziale 3.2 sprowadzamy zagadnienie bifurkacji z łamaniem symetrii ze zbioru rozwiązań radialnie symetrycznych równania różniczkowo - funkcyjnego opisującego formy równowagi biologicznego klastra do klasycznego problemu bifurkacji ze zbioru rozwiązań trywialnych pewnego równania nieliniowego Fˆ (ρ, μ) = 0 w odpowiednich przestrzeniach Banacha (Twierdzenie 3.3). Pokazujemy wybrane własności odwzorowania Fˆ, potrzebne do skorzystania z twierdzenia Crandalla - Rabinowitza. WPodrozdziale 3.3 badamy zachowanie rozwiązań radialnie niesymetrycznych. Wykazujemy, że mamy do czynienia ze zjawiskiem bifurkacji dokrytycznych i krzywą rozwiązań radialnie niesymetrycznych możemy sparametryzować parametrem bifurkacji τ . Natomiast w Podrozdziale 3.4 zostały przedstawione z wykorzystaniem programu Mathematica wizualizacje tego, jak w punktach krytycznych może zachować się brzeg biologicznego klastra.

Autor (1)