Search
Search results for: UKŁAD NIELINIOWYCH RÓWNAŃ SCHRODINGERA
-
Mode interaction in few-mode optical fibres with Kerr effect
PublicationUogólnioną metodę rzutowania do ortogonalnej bazy funkcji poprzecznej współrzędnej Bessela stosuje się do wyprowadzania układów równań nieliniowych Schrodingera. Teoria jest ważna dla paczek falowych w światłowodach i kilku modelach.
-
Generalized method of lines for nonlinear first order partial differential equations
PublicationKlasyczne rozwiązania zagadnień początkowych oraz początkowo brzegowych są przybliżane za pomocą rozwiązań równań różniczkowo różnicowych. Skonstruowana jest metoda prostych polegająca na dyskretyzacji wyjściowego równania względem zmiennych przestrzennych. Przedstawiony w pracy schemat bazuje na metodzie linearyzacji dla zagadnień nieliniowych. W pracy zastosowano metodę quasilinearyzacji polegającą na zamianie nieliniowego równania...
-
Numerical methods for nonlinear first-order partial differential equations with deviated variables
PublicationKlasyczne rozwiązania zagadnień początkowych dla nieliniowych równań cząstkowych z odchylonym argumentem aproksymowano za pomocą rozwiązań układów quasiliniowych równań różnicowych określonych na piramidzie Haara. Podano warunek dostateczny zbieżności metody. Stabilność schematu różnicowego wykazano metodą porównawczą. Przedstawiono metodę rozwiązywania nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych z odchylonym argumentem bazującą...
-
Całkowanie nieliniowych równań dynamiki ciała sztywnego i powłok sprężystych.
PublicationOgólnym celem pracy jest studium i opracowanie algorytmów numerycznych do analizy dynamicznej układów mechanicznych. Opracowane i analizowane schematy całkowania nieliniowych równań ruchu odnoszą się do konstrukcji sformułowanych w ramach teorii sześcioparametrowej (modele bryły sztywnej, przestrzennych konstrukcji prętowych oraz niektóre teorie płyt i powłok). Podstawę pracy stanowią rozważania teoretyczne z zakresu metod numerycznych...
-
On convergence and stability of a numerical scheme of Coupled Nonlinear Schrödinger Equations
PublicationRozważamy rozwiązania numeryczne układu sprężynowych równań nieliniowych Schrödingera. Udowodniliśmy stabilność i zbieżność. Testujemy za pomocą rozwiązań solitonowych.
-
Quasilinearization methods for nonlinear differential-functional parabolic equations: unbounded case
PublicationRozważamy zagadnienie Cauchy'ego dla nieliniowych równań parabolicznych z zależnością funkcyjną. Przedstawiamy rezultaty dotyczące zbieżności metody quasilinearyzacji dla rozwiązań nieograniczonych.
-
Variacionnye metody
PublicationMonografia zawiera metody wariacyjne dla rozwiązywania zadań fizyki matematycznej. Rozwiązane zastałe odwrotne zagadnienie rachunku wariacyjnego dla nieliniowych równań różniczkowych. Zbudowana jedyną teorię takich zadań dla liniowych i nieliniowych równań różniczkowych.
-
Finite difference approximations for nonlinear first order partial differential equations
PublicationKlasyczne rozwiązania nieliniowych równań różniczkowych o pochodnych cząst-kowych pierwszego rzędu są aproksymowane za pomocą równań quasiliniowych uk-ładów równań różniczkowych. Dowód zbieżności wykorzystuje metody porównawcze
-
Nonlinear distortion analysis and optimisation of general OTA-C filters.
PublicationW pracy przedstawiono opis analityczny ogólnej struktury filtrów OTA-C zawierających nieliniowe elementy aktywne. Wprowadzono nieliniowy układ równań różniczkowych zwyczajnych opisujący dynamikę tej klasy układów aktywnych. Opis ten pozwala, przy użyciu standardowych metod numerycznych, na przeprowadzenie efektywnej analizy czasowej filtrów OTA-C. Proponowane podejście może być stosowane do badania dowolnych efektów nieliniowych...
-
Darboux-intergrable equations with non-abelian nonlinearities
PublicationWprowadzono nowa klasę nieliniowych równań dających się reprezentować przez warunki Darboux-kowariantności.
-
Metody numeryczne w inżynierii wodnej.
PublicationW pracy opisano podstawowe metody numeryczne stosowane do rozwiązywania zagadnień inżynierii wodnej. Omówiono takie kwestie jak rozwiązanie układów równań liniowych, algebraicznych równań nieliniowych i ich układów, równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych.Opisane metody zilustrowano licznymi przykładami zastosowań.
-
A dressing method in mathematical physics
PublicationMetodę ubierania stosuje się do równań nieliniowych całkowalnych i w teorii potencjałów całkowalnych mechaniki kwantowej.
-
Stability of difference problems generated by hyperbolic first order partial differential systems.
PublicationPraca dotyczy numerycznej aproksymacji rozwiązań zagadnień początkowych dla nieliniowych układów równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu. Podano konstrukcję układu quasiliniowego równań różnicowych typu Eulera. Wykazano, że przy naturalnych założeniach jest on stabilny. Dowód zbieżności wykorzystuje metody porównawcze.
-
Hybrydowe metody modelowania układów mechanicznych
Publicationprzedstawiono dyskretno-ciągłą metodę pryzm oraz hybrydową metodę dekompozycji modalnej modelowania układów mechanicznych. W dyskretno- ciągłej metodzie pryzm elastyczne ciało dyskretyzuje się na jednowymiarowe elementy ciągłe nazywane pryzmami. Każda pryzma opisana jest przez zbiór sześciu sprzężonych równań różniczkowych cząstkowych. Do rozwiązania równań opisujących cały układ stosuje się metodę transmitancji dla układów o parametrach...
-
Implicit difference methods for nonlinear first order partial differential equations
PublicationW pracy klasyczne rozwiązania początkowo brzegowych problemów dla nieliniowych równań różniczkowych, szacowane są przez rozwiązania quasiliniowych układów uwikłanych równań różnicowych. Dowód zbieżności rozważanych metod opiera się na technice porównawczej z nieliniowym oszacowaniem typu Perrona dla funkcji danych. To nowe podejście do uwikłanych metod różnicowych dla równań nieliniowych opiera się na quasilinearyzacji tych metod...
-
Method to solve the non-linear systems of equations for steady gradually varied flow in open channel network.
PublicationW artykule omówiono rozwiązanie systemu równań nieliniowych opisujacych przepływ ustalony wolnozmienny w sieci kanałów otwartych. Niewiadomymi są glębokości w poszczególnych przekrojach oraz natężenia przepływów w poszczególnych gałęziach systemu. Układ musi być rozwiązywany iteracyjnie. Klasyczne metody Picarda i Newtona mogą okazać się nieskuteczne ze względu na oscylacje rozwiązania w kolejnych iteracjach i związany z tym brak...
-
Numerical approximations of parabolic functional differential equations on unbounded domains
PublicationSkonstruowano schematy różnicowe zagadnień początkowych dla nieliniowych parabolicznych równań różniczkowo funkcyjnych. Przedstawiono twierdzenie o oszacowaniu błędu rozwiązań przybliżonych dla równań różnicowo funkcyjnych typu Volterry z niewiadomą funkcją kilku zmiennych. Udowodniono twierdzenie o zbieżności jawnych schematów różnicowych. Podano przykłady numeryczne.
-
Numerical method of lines for first order partial differential equations with deviated variables
PublicationPraca traktuje o przybliżaniu rozwiązań klasycznych równańróżniczkowo-funkcyjnych cząstkowych pierwszego rzędu rozwiązaniamiukładów quasiliniowych równań różnicowych. Nowe podejście dorozwiązywania równań nieliniowych zawdzięczamy metodziequasilinearyzacji dla zagadnień początkowo - brzegowych z odchylonymargumentem. Dla przyrostów pochodnych funkcji danej zakładamy nieliniowe oszacowanie typu Perrona. Załączone są wyniki eksperymentów...
-
Approximate solutions of mixed problems for first order partial differential equations with deviated variables.
PublicationPraca traktuje o przybliżaniu rozwiązań klasycznych równańróżniczkowo-funkcyjnych cząstkowych pierwszego rzędu rozwiązaniamiukładów quasiliniowych równań różnicowych. Nowe podejście dorozwiązywania równań nieliniowych zawdzięczamy metodziequasilinearyzacji dla zagadnień początkowo - brzegowych z odchylonymargumentem. Dla przyrostów pochodnych funkcji danej zakładamy nieliniowe oszacowanie typu Perrona. Załączone są wyniki eksperymentów...
-
Reduction restrictions of Darboux and Laplace transformations for the Goursat equation
PublicationZredukowane przekształcenia Darboux i Laplace`a dla równania Goursata zastosowane do rozwiązywania problemów nieliniowych i geometrycznych. Podaje się nowe rozwiązania równań KdV-MKdV w przestrzeni 2+1.
-
Nonlocal problems for functional partial differential equations of firstorder
PublicationRozważa się istnienie uogólnionych rozwiązań nielokalnych problemów dla quasiliniowych i nieliniowych równań różniczkowo-funkcyjnych cząstkowych pierwszego rzędu. Dowody twierdzeń bazują na metodzie bicharakterystyk i metodzie kolejnych przybliżeń.
-
Generalized Euler method for nonlinear first order partial differential equations.
PublicationKlasyczne rozwiązania nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu są aproksymowane w tej pracy za pomocą rozwiązań quasiliniowych układów równań różnicowych. Podstawowa idea pracy jest oparta na teorii charakterystyk. Podane są warunki wystarczające dla zbieżności metody. Dowód stabilności schematu różnicowego wykorzystuje metodę porównawczą z nieliniowymi oszacowaniami typu Perrona dla danych funkcji.Podane...
-
Abstract DNA-type systems
PublicationAbstrakcyjny system typu DNA jest definiowany przez zestaw nieliniowych kinetycznych równań z wielomianowymi nieliniowościami, które przyjmują rozwiązania solitonowe związane z geometrią helis. Zestaw równań pozwala na dwie różne reprezentacje Laxa: forma von Neumanna i Darboux-kowariantna para Laxa. Wyjaśniamy dlaczego nie-Kolmogorowskie modele prawdopodobieństwa pojawiające się w kinetyce solitonowej są naturalnie związane z...
-
On the Conley index in Hilbert spaces in the absence of uniqueness
PublicationW artykule podana jest konstrukcja indeksu Conley`a w przestrzeniach nieskończonego wymiaru dla równań różniczkowych bez jednoznaczności rozwiązań. Celem pracy jest przygotowanie właściwej teorii do badań ilościowych i jakościowych pewnych typów nieliniowych układów eliptycznych.
-
Implicit difference methods for infinite systems of hyperbolic functional differential equations
PublicationPraca dotyczy klasycznych rozwiązań problemów początkowo brzegowych dla nieskończonych układów nieliniowych równań rózniczkowo funkcyjnych. Skonstruowane są dwa typy schematów różnicowych. Pokazujemy, ze rozwiązania rozważanego zagadnienia różniczkowego można przybliżyć przy pomocy rozwiązań nieskończonych układów równań różnicowych. W drugiej części pracy udowadniamy, że również rozwiązania skończonych układów równań różnicowych...
-
Badania symulacyjne drgań szczotki z wykorzystaniem matematycznego modelu 2D komutatorowego zestyku ślizgowego maszyny elektrycznej
PublicationW referacie przedstawiono model matematyczny komutatorowego zestyku ślizgowego i jego zastosowanie do badań symulacyjnych drgań szczotki. Jest to mechaniczny model obwodowy z uwzględnieniem rozkładu elementów skupionych szczotki w przestrzeni 2D. W szczotce wyróżniono liniowe elementy zachowawcze oraz elementy dyssypatywne. Przestrzeń międzystykowa jest zamodelowana układem nieliniowych elementów sprężystych i dyssypatywnych. Pomiędzy...
-
Generalized Euler method for first order partial differential functional equations
PublicationW pracy prezentowana jest nowa klasa metod numerycznych dla nieliniowych równań różniczkowo funkcyjnych pierwszego rzędu.Rozwiązania klasyczne zagadnień początkowo brzegowych przybliżane są w tej pracy przez rozwiązania odpowiedniego układu quasilininowego równań różnicowych. Podajemy kompletną analizę zbieżności metod i pokazujemy na przykładach, iż nowa metoda jest zauważalnie lepsza niż klasyczne schematy różnicowe. Dowód stabilności...
-
The large rotations theory of elasto-viscoplastic shells subjected to thedynamic and thermal loads.
PublicationPrzedstawiono problemy sprężysto- lepkoplastycznej analizy geometrycznie nieliniowych płyt i powłok poddanych obciążeniom dynamicznym w różnych temperaturach. W obliczeniach zastosowano teorię ścinania pierwszego rzędu i konstytutywne prawo Chaboche´a w wariantach z uwzględnieniem wpływu temperatury na stałe materiałowe. Do całkowania równań ruchu użyto metody różnic centralnych, a do całkowania równań konstytutywnych regułę...
-
Numerical approximation of first order partial differential equations withdeviated variables.
PublicationKlasyczne rozwiązania nieliniowego zagadnienia Cauchy´ego określone na piramidzie Haara są aproksymowane za pomocą rozwiązań układów quasiliniowych równań różnicowych. Stabilność schematu różnicowego jest wykazana metodą porównawczą z zastosowaniem nieliniowych oszacowań typu Perrona dla danych funkcji. Podano przykłady numeryczne.
-
Interaction of modes in nonlinear acoustics: theory and applications to pulse dynamics.
PublicationOgólna teoria oddziaływania modów hydrodynamicznych opiera się na wyprowadzeniu równań różniczkowych nieliniowych. Mody rozumiane są tu jako wektory własnych układów praw zachowań hydrodynamicznych. Rozpatrywano zjawiska towarzyszące fali akustycznej w przepływie lepkim nieliniowym. Uwzględniono płyny w każdym fizycznym równaniu stanu.
-
Generalized solutions of first order partial differential functional inequalities
PublicationW pracy rozważa się zagadnienia początkowo brzegowe dla nieliniowych równań różniczkowo funkcyjnych cząstkowych pierwszego rzędu. Podano dowód jednoznaczności rozwiązań uogólnionych. Oparty jest on na twierdzeniu porównawczym dla nierówności różniczkowo funkcyjnych w sensie Caratheodory'ego. Prezentowane jest twierdzenie o uogólnionych rozwiązaniach nierówności różniczkowo funkcyjnych.
-
Quasilinearization methods for nonlinear parabolic equations with functional dependence
PublicationRozważamy problem Cauchy`ego dla nieliniowych równań parabolicznych z zależnością funkcyjną. Dowodzimy twierdzeń o szybkiej zbieżności ciągów kolejnych przybliżeń określonych w metodzie quasilinearyzacji w dwóch przypadkach: (i) argumentem funkcyjnym jest funkcja niewiadoma, (ii) zależność funkcyjna dotyczy również pochodnej funkcji niewiadomej.
-
Motion stability during optimal control of the mobile platform
PublicationPraca przedstawia metodę badania stabilności robotów mobilnych podczas sterowania optymalnego na przykładzie 3-kołowej platformy mobilnej. Robot posiada więzy nieholonomiczne. Model matematyczny 3-kołowej platformy mobilnej opisuje skończona liczba nieliniowych równań różniczkowych. Stąd, prognozowanie stabilności ruchu takiego obiektu wymaga zastosowania efektywnych algorytmów.
-
Prediction of the stability during optimal control of the 3-wheel mobile platform
PublicationW pracy przedstawiono metodę badania stabilności sterowania optymalnego 3-kołową platformą mobilną podczas realizacji zadanej trajektorii ruchu. Badany robot posiada więzy nieholonomiczne. Model matematyczny robota 3-kołowego opisano za pomocą skończonej liczby nieliniowych równań różniczkowych. Stąd, prognozowanie ruchu takiego obiektu wymaga zastosowania efektywnych algorytmów.
-
Mechatronic approach to the design of 2-wheel mobile platform
PublicationW pracy przedstawiono podejście mechatroniczne do projektowania 2-kołowego robota mobilnego przeznaczonego do testowania algorytmu nadzorowania za pomocą sterowania optymalnego przy energetycznym wskaźniku jakości. Badany robot jest skrępowany więzami nieholonomicznymi. Model matematyczny 2-kołowej platformy mobilnej jest opisany za pomocą skończonej liczby nieliniowych równań różniczkowych.
-
Polarized light pulses propagation and coupling in optical waveguides
PublicationGłównym celem tej pracy było zbudowanie modelu teoretycznego, na bazie równań Maxwella, który pozwoliłby na opis transmisji wielomodowej w falowodach dielektrycznych (światłowodach) z uwzględnieniem efektu nieliniowego typu Kerra. W pracy wyniki teoretyczne zostały porównane z wynikami doświadczalnymi. Do symulacji propagacji światła z uwzględnieniem efektu Kerra niezbędne było rozwiązanie sprzężonych nieliniowych równań Schrödingera...
-
Distortion Analysis of Gm-C Filters - Numerical Approach
PublicationW pracy przedstawiono efektywną procedurę symulacji numerycznej zniekształceń nieliniowych dla dowolnych filtrów Gm-C. Zaprezentowano ogólny model filtrów Gm-C zawierających nieliniowe elementy aktywne (transkonduktory). Przeprowadzono analizę modelu, która prowadzi do sformułowania ogólnego nieliniowego układu równań różniczkowych zwyczajnych opisujacych dynamikę napięć węzłowych filtru w dziedzinie czasu. Scałkowanie numeryczne...
-
Dynamic inequalities and equations of Volterra type on time scales
PublicationPraca dotyczy całkowo-różniczkowych równań dynamicznych typu Volterry z warunkami początkowymi. Stosując twierdzenie Banacha o punkcie stałym pokazano istnienie jedynego rozwiązania liniowego równania dynamicznego. Stosując metodę iteracji monotonicznych pokazano istnienie rozwiązań ekstremalnych dla problemów nieliniowych. Badano też nierówności dynamiczne. Praca zawiera również uwagi dotyczące zagadnień różniczkowych i różnicowych.
-
Wybrane elementy nieliniowej dynamiki struktur kratowych
PublicationW pracy jest dyskutowany problem nieliniowej dynamiki struktur kratowych. Zastosowano stacjonarny opis Lagrange'a (ang. Total Lagrange), pokazano silne i słabe sformułowanie dla pręta kratowego, jego aplikację do MES. W zakresie całkowania równań ruchu przedstawiono metodę Newmarka i metodę-a dla problemów liniowych i nieliniowych. Załączony przykład numeryczny ilustruje cechy przedstawionych metod.
-
Rigid ninite element method for dynamics of flexible multibody systems
PublicationW pracy przedstawiono metodę sztywnych elementów skończonych w nowym sformułowaniu bazującym na przekształceniach jednorodnych wraz ze złączowymi współrzędnymi. Omówiono klasyczną i zmodyfikowaną wersję metody, które różnią się nie tylko liczbą stopni swobody, ale także różniczkowaniem równań ruchu. Każda z wersji może być zastosowana do analizy liniowych i nieliniowych drgań, co pokazano na przykładzie belki wspornikowej.
-
Odporne na przekłamania pomiarowe algorytmy estymacji parametrycznej w zagadnieniach diagnostyki systemów
PublicationW pracy rozważa się zastosowanie metod identyfikacji parametrycznej do pozyskiwania użytecznej dla celów diagnostyki informacji. Odpowiednie algorytmy estymacji umożliwiają zarówno śledzenie zmian istotnych parametrów nadzorowanych procesów, jak też wyznaczanie ocen takich parametrów na podstawie informacji niepełnej bądź częściowo zafałszowanej. Analizie poddaje się procesy przemysłowe modelowane za pomocą równań różnicowych oraz...
-
Non-linearity of multibody dynamic equations with respect to Lagrange multipliers: application to railway dynamics
PublicationPraca koncentruje się na dynamice układów wieloczłonowych z zamkniętymi łańcuchami członów. Głównym punktem zainteresowania jest modelowanie układów z występującymi nieliniowymi zależnościami opisującymi wpływ siły mnożników Lagrange'a na dynamikę układu (nieliniowe modele siły tarcia.). Aby zbudować model dynamiki układu zawierającego zamknięte łańcuchy członów, wspomniane łańcuchy są "rozcinane" i budowana jest struktura drzewa...
-
Behawioralne modelowanie i symulacja tranzystorów IGBT w układach energoelektronicznych = Behavioural modeling and simulation of IGBT transistors in power electronics systems
PublicationW referacie przedstawiono rezultaty prac nad modelem tranzystora bipolarnego z izolowaną bramką (IGBT), przydatnym w symulacjach układów energoelektronicznych wymagających odwzorowania zarówno stanów ustalonych jak i dynamicznych przy przełączaniu. Rozważono behawioralny model IGBT o reprezentacji za pomocą równań stanu przy wykorzystaniu katalogowych charakterystyk statycznych oraz nieliniowych aproksymacji pojemności pasożytniczych....
-
Turbina wiatrowa jako element systemu radiolokalizacyjnego
PublicationW referacie zaproponowano wykorzystanie turbiny wiatrowej do umieszczenia elementów systemu radiolokalizacyjnego do określania położenia obiektów latających. Zaproponowane rozwiązanie umożliwia osza-cowanie położenia obiektu w przestrzeni, zwłaszcza w ruchu, za pomocą sygnałów lokalizacyjnych nadawanych jednocześnie z wybranych punktów konstrukcyjnych turbiny. Przedstawiono matematyczną analizę metody oraz algorytm Chana (CA) do...
-
Dynamics of flexible multibody systems : Rigid finite element method.
PublicationW książce przedstawiono zagadnienie przekształceń jednorodnych, z punktu widzenia opisu dynamiki układów wielomasowych, złożonych z brył sztywnych. Omówiono metodę sztywnych elementów skończonych, w której model składa się z brył sztywnych połączonych elementami sprężystymi i tłumiącymi, a także jej wersję zmodyfikowaną. W modelu uwzględnia się duże przemieszczenia brył. Przedstawiono obliczenia dla belki wspornikowej oraz omówiono...
-
Modelowanie procesów oscylacyjnych w układach z membraną ciekłą i kationowym surfaktanetm = Modeling of oscillation processes in systems with liquid membrane and cationic surfactant
PublicationBadano mechanizm oscylacji róznicy potencjału elektrycznego między fazami wodnymi trójfazowego układu z membraną ciekłą zawierającą kwas pikrynowy rozpuszcony w nitrobenzenie. Wodna faza donorowa zawierała kationowy surfaktant (bromek heksadecylotrimetyloamoniowy) i etanol. Faza akceptorowa składała się z wodnego roztworu sacharozy. Mechanizm sugeruje, że gwałtowna adsorpcja i desorpcja surfaktantu na granicy fazy akceptorowej...
-
Prediction of the motion stability of three-wheel mobile robot
PublicationW pracy rozważa się projektowanie i realizację trajektorii ruchu 3-kołowego robota mobilnego, z uwzględnieniem jego kinematyki i dynamiki. Kołowe roboty mobilne zaliczane są do układów nieholonomicznych, w przypadku których przyjęte ograniczenia (więzy) dotyczą chwilowych prędkości punktów charakterystycznych układu. Model matematyczny obiektu przedstawiono w postaci skończonej liczby nieliniowych równań różniczkowych kinematyki...
-
Wstęp do metod numerycznych
PublicationMetody numeryczne to bez wątpienia jedno z najważniejszych narzędzi w rękach inżyniera czy fizyka. W skrypcie przedstawione zostały najistotniejsze własności wybranych metod numerycznych, działanie każdej z nich przystępnie zaprezentowano na przykładach. Rozdział 1 zawiera podstawowe informacje dotyczące błędów obliczeń wykonywanych na maszynie cyfrowej. W rozdziale 2 omówiono metody służące do rozwiązywania równań nieliniowych...
-
Statyka i dynamika powłok wielopłatowych. Nieliniowa teoria i metoda elementów skończonych.
PublicationW części teoretycznej monografii sformułowano ścisłe 2D powierzchniowe zasady dynamiki powłok jako wynik całkowania po grubości odpowiednich 3D zasad dynamiki ośrodka ciągłego. Odpowiadająca im 2D kinematyka powłoki jest konstruowana również ściśle na poziomie dwuwymiarowym. Przybliżenia są wprowadzane jedynie do równań konstytutywnych, które są z definicji zależnościami przybliżonymi, opartymi o badania eksperymentalne. Konsekwencją...
-
Mixed algorithm in searches of mechanical system steady-state conditions for low precision of the state estimation
PublicationW pracy zaprezentowano algorytm poszukiwania rozwiązania układu równań nieliniowych. Nieliniowe funkcje lewych stron znane są z ograniczoną dokładnością, a wzory określające ich pochodne względem czasu nie są znane. Wartości pochodnych wyznaczane są numerycznie za pomocą różnic skończonych. Z uwagi na niską precyzje wyznaczania wartości funkcji, wartości pochodnych znane są jedynie z ograniczoną dokładnością., pochodne zawierają...